Autour de nombres premiers entre eux - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) premiers entre eux. Montrer que \(a\) et \(a+b\) sont premiers entre eux.

Solution

Comme \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\)  tel que  \(au+bv=1\) .

On remarque que : \(\begin{align*}1=au+bv=au+(a+b)v-av=a(u-v)+(a+b)v=au'+bv'\end{align*}\) avec \((u';v')=(u-v;v) \in \mathbb{Z}^2\) .

Ainsi, d'après le théorème de Bézout, \(a\) et \(a+b\) sont premiers entre eux.